取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。

讨论：

首先，看看自然数的取模运算（定义1）:

如果 a 和 b 是两个自然数，b 非零，可以证明存在两个唯一的整数 c 和 r，满足 a = cb + r 且0 ≤ r < b。
其中，c 被称为商，r 被称为余数。

假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。

下面是几种软件中对此的理解。

可以看到，答案不是唯一。所以不能直接把正数的法则用在负数的取余上。
实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2。

如果a 与b 是整数，b 非零，那么余数 r 满足这样的关系：

a = cb + r , c 为整数，且0 ≤ |r| < |b|。

可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和负余数。
通常，当除以d时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有：

r1 = r2 + d

对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。

看完了 (-7) mod 3，下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况（看清楚，上面的例子 7 带负号，现在是 3 带负号）。
根据定义2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。

从中我们看到：

• Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
• 可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。
• 如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）

于是有了如下实际测试：

结果，所有语言和计算机返回结果完全一致。

小结：

我们由此可以总结出下面两个结论：

1. 对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
2. 对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。

总结：

假设求余数（模）r，c是商：
求余方法a%b，求模方法a mod b，则余数r为：

计算模或者余数： r = a – c*b

那么，求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向 0 方向舍入(fix()函数)；
而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例如：计算-7 Mod 4

那么：a = -7；b = 4；
第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；
第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。

归纳：

当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。
当符号不一致时，结果不一样。

求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。